Q17 Matemática  (IMO Shortlist 1992)

Seja $\alpha (n)$ o número de dígitos igual a um na representação binária de um inteiro positivo $n.$ Prove que: (a) a desigualdade $\alpha (n)(n^2)\le frac12\alpha (n)(\alpha (n)+1)$ detém; (b) a desigualdade acima é uma igualdade para infinitos números inteiros positivos, e (c) existe uma sequência $(n_i{)}_1^{\infty }$ tal que $\frac{\alpha (n_i^2)}{alpha(n_i}$ vai para zero como $i$ vai para $\infty .$ Problema alternativo: Prove que existe uma sequência $(n_i{)}_1^{\infty }$ tal que $\frac{\alpha (n_i^2)}{\alpha (n_i)}$ (d) $\infty ;$ (e) um número real arbitrário $\gamma \in (0,1)$; (f) um número real arbitrário $\gamma \ge 0$; como $i$ vai para $\infty .$