Q10 Matemática  (IMO Shortlist 1992)

Seja $S$ um conjunto finito de pontos no espaço tridimensional. Sejam $S_x,S_y,S_z$ os conjuntos que consistem nas projeções ortogonais dos pontos de $S$ sobre o $yz$- avião, $zx$-plano, $xy$-plano, respectivamente. Prove que $$|S{|}^2\le |S_x|\cdot |S_y|\cdot |S_z|,$$ onde $|A|$ denota o número de elementos no conjunto finito $A$. ObservaçãoNota: A projeção ortogonal de um ponto em um plano é o pé da perpendicular desse ponto ao plano.