Q5 Matemática  (IMO Shortlist 1992)

Um quadrilátero convexo tem diagonais iguais. Um triângulo equilátero é construído do lado de fora de cada lado do quadrilátero. Os centros dos triângulos em lados opostos são unidos. Mostre que as duas linhas de junção são perpendiculares. Formulação alternativa. Dado um quadrilátero convexo $ABCD$ com diagonais congruentes $AC=BD.$ Quatro triângulos regulares são erguidos externamente em seus lados. Prove que os segmentos que unem os centróides dos triângulos dos lados opostos são perpendiculares entre si. Formulação original: Seja $ABCD$ um quadrilátero convexo tal que $AC=BD.$ Triângulos equiláteros são construídos nos lados do quadrilátero. Sejam $O_1,O_2,O_3,O_4$ os centros dos triângulos construídos em $AB,BC,CD,DA$ respectivamente. Mostre que $O_1{O}_3$ é perpendicular a $O_2{O}_4.$