Q3 Matemática (IMO Shortlist 1992)

03 | IMO Shortlist | 1992 | Matemática

As diagonais de um quadrilátero $A BC D$ são perpendiculares: $A C ⊥ B D .$ Quatro quadrados, $A BEF, BCG H, C D I J, D A K L,$ são erguidos externamente em seus lados. Os pontos de interseção dos pares de retas $C L, D F, A H, B J$ são denotados por $P_{1}, Q_{1}, R_{1}, S_{1},$ respectivamente (figura à esquerda), e os pontos de interseção dos pares de retas $A I, B K, CE D G$ são denotados por $P_{2}, Q_{2}, R_{2}, S_{2},$ respectivamente (figura à direita). Prove que $P_{1} Q_{1} R_{1} S_{1} ≅ P_{2} Q_{2} R_{2} S_{2}$ onde $P_{1}, Q_{1}, R_{1}, S_{1}$ e $P_{2}, Q_{2}, R_{2}, S_{2}$ são os dois quadriláteros. Formulação alternativa: Fora de um quadrilátero convexo $A BC D$ com diagonais perpendiculares, são construídos quatro quadrados $A EFB, BG H C, C I J D, DK L A,$ (os vértices são dados no sentido anti-horário). Prove que os quadriláteros $Q_{1}$ e $Q_{2}$ formados pelas linhas $A G, B I, C K, D E$ e $A J, B L, CF, DH,$ respectivamente, são congruentes.