Q19 Matemática  (IMO Shortlist 1991)

Seja $\alpha$ a raiz positiva da equação $x^2=1991x+1$. Para números naturais $m$ e $n$ defina $$m\ast n=mn+\lfloor \alpha m\rfloor \lfloor \alpha n\rfloor .$$ Prove que para todos os números naturais $p$, $q$ e $r$, $$(p\ast q)\ast r=p\ast (q\ast r).$$