Q18 Matemática  (IMO Shortlist 1990)

Seja $a,b\in \mathbb{N}$ com $1\le a\le b,$ e $M=\left[\frac{a+b}{2}\right].$ Defina uma função $f:\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z}$ por $$f(n)=\{\begin{array}{ll}n+a,& \text{if }n\le M,\\ n-b,& \text{if}n>M.\end{array}$$Seja $f^1(n)=f(n),$ $f_{i+1}(n)=f(f^i(n)),$ $i=1,2,\dots$ Encontre o menor número natural $k$ tal que $f^k(0)=0.$