Q15 Matemática  (IMO Shortlist 1987)

Sejam $x_1,x_2,\dots ,x_n$ números reais que satisfazem $x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2=1$. Prove que para todo inteiro $k\ge 2$ existem inteiros $a_1,a_2,\dots ,a_n$, nem todos zero, tal que $|a_i|\le k-1$ para todo $i$ e $|a_1{x}_1+a_2{x}_2+\dots +a_n{x}_n|\le \frac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n-1}$. (OMI Problema 3) Proposto pela Alemanha, FR