Q15 Matemática  (IMO Shortlist 1986)

Seja $ABCD$ um quadrilátero convexo cujos vértices não pertencem a um círculo. Seja $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ um quadrilátero tal que $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ sejam os centros das circunferências dos triângulos $BCD,ACD,ABD$ e $ABC$. Escrevemos $T(ABCD)=A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Vamos definir $A^{\prime \prime }{B}^{\prime \prime }{C}^{\prime \prime }{D}^{\prime \prime }=T(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })=T(T(ABCD)).$ (a) Prove que $ABCD$ e A' 'B''C''D'' são semelhantes. (b) A razão de similitude depende do tamanho dos ângulos de $ABCD$. Determine esta proporção.