Q17 Matemática  (IMO Shortlist 1985)

A sequência $f_1,f_2,\cdots ,f_n,\cdots$ de funções é definida para $x>0$ recursivamente por $$f_1(x)=x,f_{n+1}(x)=f_n(x)\left(f_n(x)+\frac{1}{n}\right)$$Prove que existe um e apenas um número positivo $a$ tal que $0<f_n(a)<f_{n+1}(a)<1$ para todos os inteiros $n\ge 1.$