Q16 Matemática  (IMO Shortlist 1983)

Seja $F(n)$ o conjunto de polinômios $P(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$, com $a_0,a_1,...,a_n\in \mathbb{R}$ e $0\le a_0=a_n\le a_1=a_{n-1}\le \cdots \le a_{[n/2]}=a_{[(n+1)/2]}.$ Prove que se $f\in F(m)$ e $g\in F(n)$, então $fg\in F(m+n).$