Q11 Matemática  (IMO Shortlist 1983)

Seja $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ contínuo e satisfaça: $$\{\begin{array}{ll}bf(2x)=f(x),& \text{mbox}if0\le x\le 1/2,\\ f(x)=b+(1-b)f(2x-1),& \text{mbox}if1/2\le x\le 1,\end{array}$$ where $b=\frac{1+c}{2+c}$, $c>0$. Mostre que $0<f(x)-x<c$ para cada $x,0<x<1.$