Q18 Matemática  (IMO Shortlist 1982)

Seja $O$ um ponto do espaço tridimensional e sejam $l_1,l_2,l_3$ linhas retas mutuamente perpendiculares passando por $O$. Seja $S$ a esfera de centro $O$ e raio $R$, e para cada ponto $M$ de $S$, seja $S_M$ a esfera de centro $M$ e raio $R$. Denotamos por $P_1,P_2,P_3$ a interseção de $S_M$ com as retas $l_1,l_2,l_3$, respectivamente, onde colocamos $P_i\ne O$ se $l_i$ encontra $S_M$ em dois pontos distintos pontos e $P_i=O$ caso contrário ($i=1,2,3$). Qual é o conjunto dos centros de gravidade dos triângulos (possivelmente degenerados) $P_1{P}_2{P}_3$ quando $M$ passa pelos pontos de $S$?