Q14 Matemática (IMO Shortlist 1982)

14 | IMO Shortlist | 1982 | Matemática

Seja $A BC D$ um quadrilátero plano convexo e $A_{1}$ denotando o circuncentro de $△ BC D$ . Defina $B_{1}, C_{1}, D_{1}$ de forma correspondente. (a) Prove que todos os $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ coincidem em um ponto, ou são todos distintos. Assumindo o último caso, mostre que $A_{1}$ , C1 estão em lados opostos da linha $B_{1} D_{1}$ e, da mesma forma, $B_{1}, D_{1}$ estão em lados opostos da linha $A_{1} C_{1}$ . (Isso estabelece a convexidade do quadrilátero $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ .) (b) Denote por $A_{2}$ o circuncentro de $B_{1} C_{1} D_{1}$ e defina $B_{2}, C_{2}, D_{2}$ de maneira análoga. Mostre que o quadrilátero $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ é semelhante ao quadrilátero $A BC D .$