Q6 Matemática (IMO Shortlist 1982)

06 | IMO Shortlist | 1982 | Matemática

Seja $S$ um quadrado com lados de comprimento $100$ . Seja $L$ um caminho dentro de $S$ que não atende a si mesmo e que é composto de segmentos de linha $A_{0} A_{1}, A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, \dots, A_{n - 1} A_{n}$ com $A_{0} = A_{n}$ . Suponha que para cada ponto $P$ na fronteira de $S$ haja um ponto de $L$ a uma distância de $P$ não maior que $\frac{1}{2}$ . Prove que existem dois pontos $X$ e $Y$ de $L$ tais que a distância entre $X$ e $Y$ não é maior que $1$ e o comprimento da parte de $L$ que está entre $X$ e $Y$ não é menor que $198$ .