Q1 Matemática  (IMO Shortlist 1980)

Seja $\alpha ,\beta$ e $\gamma$ os ângulos do triângulo $ABC$. A mediatriz de $AB$ intercepta $BC$ no ponto $X$, a mediatriz de $AC$ a intercepta em $Y$. Prove que $\mathrm{tg}(\beta )\cdot \mathrm{tg}(\gamma )=3$ implica $BC=XY$ (ou em outras palavras: Prove que uma condição suficiente para $BC=XY$ é $\mathrm{tg}(\beta )\cdot \mathrm{tg}(\gamma )=3$). Mostre que esta condição não é necessária e dê uma condição necessária e suficiente para $BC=XY$.