Q15 Matemática  (IMO Shortlist 1978)

Seja $p$ um primo e $A=\{a_1,\dots ,a_{p-1}\}$ um subconjunto arbitrário do conjunto dos números naturais tal que nenhum de seus elementos seja divisível por $p$. Vamos definir um mapeamento $f$ de $\mathcal{P}(A)$ (o conjunto de todos os subconjuntos de $A$) para o conjunto $P=\{0,1,\dots ,p-1\}$ em da seguinte maneira: $(i)$ if $B=\{a_{i_1},\dots ,a_{i_k}\}\subset A$ e ${\sum }_{j=1}^k{a}_{i_j}\equiv n(\mathrm{mod}p)$, então $f(B)=n,$ $(ii)$ $f(\varnothing )=0$, sendo $\varnothing$ o conjunto vazio. Prove que para cada $n\in P$ existe $B\subset A$ tal que $f(B)=n.$