Q11 Matemática  (IMO Shortlist 1977)

Seja $n$ um inteiro maior que $1$. Defina $$x_1=n,y_1=1,x_{i+1}=\left[\frac{x_i+y_i}{2}\right],y_{i+1}=\left[\frac{n}{x_{i+1}}\right],\text{for }i=1,2,\dots ,$$ onde $[z]$ denota o maior inteiro menor ou igual a $z$. Prove que $$\min \{x_1,x_2,\dots ,x_n\}=[\sqrt{n}]$$