Q2 Matemática  (IMO Shortlist 1977)

Um ponto de rede no plano é um ponto cujas coordenadas são números inteiros. Cada ponto da rede tem quatro pontos vizinhos: superior, inferior, esquerdo e direito. Seja $k$ um círculo de raio $r\ge 2$, que não passa por nenhum ponto da rede. Um ponto de fronteira interior é um ponto de rede situado dentro do círculo $k$ que tem um ponto vizinho situado fora de $k$. Da mesma forma, um ponto de fronteira externo é um ponto da rede fora do círculo $k$ que tem um ponto vizinho dentro de $k$. Prove que há mais quatro pontos de limite externo do que pontos de limite interno.