Q12 Matemática  (IMO Shortlist 1973)

Considere as duas matrizes quadradas $$A=\left[\begin{array}{ccccc}+1& +1& +1& +1& +1\\ +1& +1& +1& -1& -1\\ +1& -1& -1& +1& +1\\ +1& -1& -1& -1& +1\\ +1& +1& -1& +1& -1\end{array}\right]\text{ e }B=\left[\begin{array}{ccccc}+1& +1& +1& +1& +1\\ +1& +1& +1& -1& -1\\ +1& +1& -1& +1& -1\\ +1& -1& -1& +1& +1\\ +1& -1& +1& -1& +1\end{array}\right]$$ com entradas $+1$ e $-1$. As seguintes operações serão chamadas de elementares: (1) Mudar os sinais de todos os números em uma linha; (2) Mudar os sinais de todos os números em uma coluna; (3) Troca de duas filas (duas filas trocam de posição); (4) Troca de duas colunas. Prove que a matriz $B$ não pode ser obtida da matriz $A$ usando essas operações.