Q1 Matemática  (IMO Shortlist 1971)

Considere uma sequência de polinômios $P_0(x),P_1(x),P_2(x),\dots ,P_n(x),\dots$, onde $P_0(x)=2,P_1(x)=x$ e para cada $n\ge 1$ vale a seguinte igualdade: $$P_{n+1}(x)+P_{n-1}(x)=x{P}_n(x).$$ Prove que existem três números reais $a,b,c$ tal que para todo $n\ge 1,$ $$(x^2-4)[P_n^2(x)-4]=[a{P}_{n+1}(x)+b{P}_n(x)+c{P}_{n-1}(x){]}^2.$$