Q18 Matemática  (IMO Shortlist 1969)

$(FRA1)$ Sejam $a$ e $b$ dois inteiros não negativos. Denote por $H(a,b)$ o conjunto de números $n$ da forma $n=pa+qb,$ onde $p$ e $q$ são inteiros positivos. Determine $H(a)=H(a,a)$. Prove que se $a\ne b,$ é suficiente conhecer todos os conjuntos $H(a,b)$ para números primos $a,b$ para conhecer todos os conjuntos $H(a,b)$. Prove que no caso de números primos $a$ e $b,H(a,b)$ contém todos os números maiores ou iguais a $\omega =(a-1)(b-1)$ e também $\frac{\omega }{2}$ números menores que $\omega$