Q18 Matemática  (IMO Shortlist 1968)

Um polinômio $p(x)=a_0{x}^k+a_1{x}^{k-1}+\cdots +a_k$ com coeficientes inteiros é divisível por um inteiro $m$ se $p(x)$ for divisível por m para todos os inteiros $x$. Prove que se $p(x)$ é divisível por $m$, então $k!a_0$ também é divisível por $m$. Prove também que se $a_0,k,m$ são inteiros não negativos para os quais $k!a_0$ é divisível por $m$, existe um polinômio $p(x)=a_0{x}^k+\cdots +a_k$ divisível por $m.$