Q10 Matemática  (IMO Shortlist 1968)

Seja $ABC$ um triângulo arbitrário e $M$ um ponto dentro dele. Sejam $d_a,d_b,d_c$ as distâncias de $M$ aos lados $BC,CA,AB$; $a,b,c$ os comprimentos dos lados respectivamente, e $S$ a área do triângulo $ABC$. Prove a desigualdade $$ab{d}_a{d}_b+bc{d}_b{d}_c+ca{d}_c{d}_a\le \frac{4S^2}{3}.$$ Prove que o lado esquerdo atinge seu máximo quando $M$ é o centróide do triângulo.