Q42 Matemática (IMO Shortlist 1966)

42 | IMO Shortlist | 1966 | Matemática

Dada uma sequência finita de inteiros $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{n}$ para $n \geq 2.$ Mostre que existe uma subsequência $a_{k_{1}},$ $a_{k_{2}},$ $...,$ $a_{k_{m}},$ onde $1 \leq k_{1} \leq k_{2} \leq ... \leq k_{m} \leq n,$ tal que o número $a_{k_{1}}^{2} + a_{k_{2}}^{2} + ... + a_{k_{m}}^{2}$ é divisível por $n .$ Nota de Darij: Claro, o $1 \leq k_{1} \leq k_{2} \leq ... \leq k_{m} \leq n$ deve ser entendido como $1 \leq k_{1} < k_{2} < ... < k_{m} \leq n;$ caso contrário, poderíamos pegar $m = n$ e $k_{1} = k_{2} = ... = k_{m},$ para que o número $a_{k_{1}}^{2} + a_{k_{2}}^{2} + ... + a_{k_{m}}^{2} = n^{2} a_{k_{1}}^{2}$ certamente será divisível por $n .$