Q26 Matemática (IMO Shortlist 1966)

26 | IMO Shortlist | 1966 | Matemática

Prove a desigualdade a.) $(a_{1} + a_{2} + ... + a_{k})^{2} \leq k (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{k}^{2}),$ onde $k \geq 1$ é um número natural e $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{k}$ são números reais arbitrários. b.) Usando a desigualdade (1), mostre que se os números reais $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{n}$ satisfazem a desigualdade $a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \geq (n - 1) (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2}),$ então todos esses números $a_{1},$ $a_{2},$ $\dots,$ $a_{n}$ são não negativo.