Q6 Matemática  (IMO Shortlist 1966)

Seja $m$ um polígono convexo em um plano, $l$ seu perímetro e $S$ sua área. Seja $M\left(R\right)$ o lugar geométrico de todos os pontos no espaço cuja distância a $m$ é $\le R,$ e $V\left(R\right)$ é o volume do sólido $M\left(R\right).$ a.) Prove que $$V(R)=\frac{4}{3}\pi R^3+\frac{\pi }{2}l{R}^2+2SR.$$ , dizemos que a distância de um ponto $C$ a uma figura $m$ é $\le R$ se existe um ponto $D$ da figura $m$ tal que a distância $CD$ é $\le R.$ (Este ponto $D$ pode estar na fronteira da figura $m$ e dentro da figura.) pergunta adicional: b.) Encontre a área da vizinhança plana $R$ de um polígono convexo ou não convexo $m.$ c.) Encontre o volume da vizinhança $R$ de um poliedro convexo, por exemplo, de um cubo ou de um tetraedro. Nota de Darij: Eu acho que o ''$R$-vizinhança'' de uma figura é definido como o lugar geométrico de todos os pontos cuja distância à figura é $\le R.$