Q5 Matemática  (IMO Shortlist 1959)

Um ponto arbitrário $M$ é selecionado no interior do segmento $AB$. O quadrado $AMCD$ e $MBEF$ são construídos no mesmo lado de $AB$, com os segmentos $AM$ e $MB$ como suas respectivas bases. Os círculos circunscritos a esses quadrados, com centros $P$ e $Q$, se cruzam em $M$ e também em outro ponto $N$. Seja $N^{\prime }$ o ponto de intersecção das retas $AF$ e $BC$. a) Provar que $N$ e $N^{\prime }$ coincidem; b) Prove que as retas $MN$ passam por um ponto fixo $S$ independente da escolha de $M$; c) Encontre o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos $PQ$ visto que $M$ varia entre $A$ e $B$.