Q5 Matemática  (IMO 2021)

Dois esquilos, Bushy e Jumpy, coletaram 2021 nozes para o inverno. Jumpy numera as nozes de 1 a 2021 e cava 2021 pequenos buracos em um padrão circular no chão ao redor de sua árvore favorita. Na manhã seguinte, Jumpy percebe que Bushy colocou uma noz em cada buraco, mas não prestou atenção à numeração. Infeliz, Jumpy decide reordenar as nozes executando uma sequência de movimentos de 2021. No movimento $k$-th, Jumpy troca as posições das duas nozes adjacentes à noz $k$. Prove que existe um valor de $k$ tal que, no movimento $k$-ésimo, Jumpy troca algumas nozes $a$ e $b$ tal que $a<k<b$.