Q81 Matemática  (IMO Longlists 1992)

Seja $f(x)=x^m+a_1{x}^{m-1}+\cdots +a_{m-1}x+a_m$ e $g(x)=x^n+b_1{x}^{n-1}+\cdots +b_{n-1}x+b_n$ são dois polinômios com coeficientes reais tais que para cada número real $x,f(x)$ é o quadrado de um inteiro se e somente se for $g(x)$. Prove que se $n+m>0$, então existe um polinômio $h(x)$ com coeficientes reais tais que $f(x)\cdot g(x)=(h(x){)}^2.$ Observação .Observação. O problema original dizia $g(x)=x^n+b_1{x}^{n-1}+\cdots +b_{n-1}+b_n$, mas acho que a forma correta do problema é o que eu escrevi.