Q48 Matemática  (IMO Longlists 1992)

Encontre todas as funções $f:{\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R}$ satisfazendo a identidade $$f(x)f(y)=y^{\alpha }f\left(\frac{x}{2}\right)+x^{\beta }f\left(\frac{y}{2}\right)\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}$$ Onde $\alpha ,\beta$ são dados números reais.