Q32 Matemática  (IMO Longlists 1992)

Seja $S_n=\{1,2,\cdots ,n\}$ e $f_n:S_n\to S_n$ ser definido indutivamente como segue: $f_1(1)=1,f_n(2j)=j(j=1,2,\cdots ,[n/2])$ e (i) se $n=2k(k\ge 1)$, então $f_n(2j-1)=f_k(j)+k(j=1,2,\cdots ,k);$ (ii) se $n=2k+1(k\ge 1)$, então $f_n(2k+1)=k+f_{k+1}(1),f_n(2j-1)=k+f_{k+1}(j+1)(j=1,2,\cdots ,k).$ Prove que $f_n(x)=x$ se e somente se $x$ for um inteiro da forma $$\frac{(2n+1)(2^d-1)}{2^{d+1}-1}$$ para algum inteiro positivo $d.$