Q28 Matemática  (IMO Longlists 1992)

Dois círculos ${\Omega }_1$ e ${\Omega }_2$ são externamente tangentes um ao outro em um ponto $I$, e ambos os círculos são tangentes a um terceiro círculo $\Omega$ que envolve os dois círculos ${\Omega }_1$ e ${\Omega }_2$. A tangente comum aos dois círculos ${\Omega }_1$ e ${\Omega }_2$ no ponto $I$ encontra o círculo $\Omega$ no ponto $A$. Uma tangente comum aos círculos ${\Omega }_1$ e ${\Omega }_2$ que não passa por $I$ encontra o círculo $\Omega$ nos pontos $B$ e $C$ tais que o os pontos $A$ e $I$ estão do mesmo lado da linha $BC$. Prove que o ponto $I$ é o incentro do triângulo $ABC$. Formulação alternativa. Dois círculos se tocam externamente em um ponto $I$. Os dois círculos estão dentro de um grande círculo e ambos o tocam. A corda $BC$ do círculo maior toca os dois círculos menores (não em $I$). A tangente comum aos dois círculos menores no ponto $I$ encontra o círculo maior no ponto $A$, onde os pontos $A$ e $I$ estão do mesmo lado da corda $BC$. Mostre que o ponto $I$ é o incentro do triângulo $ABC$.