Q25 Matemática  (IMO Longlists 1992)

(a) Mostre que o conjunto $\mathbb{N}$ de todos os inteiros positivos pode ser particionado em três subconjuntos disjuntos $A,B$ e $C$ satisfazendo as seguintes condições: $$A^2=A,B^2=C,C^2=B,$$ $$AB=B,AC=C,BC=A,$$ onde $HK$ significa $\{hk|h\in H,k\in K\}$ para quaisquer dois subconjuntos $H,K$ de $\mathbb{N}$ e $H^2$ denota $HH.$ (b) Mostre que para cada partição de $\mathbb{N}$, $\min \{n\in N|n\in A\text{ e }n+1\in A\}$ é menor ou igual a $77.$