Q19 Matemática  (IMO Longlists 1992)

Denote por $a_n$ o maior número que não é divisível por $3$ e que divide $n$. Considere a sequência $s_0=0,s_n=a_1+a_2+\cdots +a_n,n\in \mathbb{N}$. Denote por $A(n)$ o número de todas as somas $s_k(0\le k\le 3^n,k\in {\mathbb{N}}_0)$ que são divisíveis por $3$. Prove a fórmula $$A(n)=3^{n-1}+2\cdot 3^{(n/2)-1}\cos \left(\frac{n\pi }{6}\right),n\in {\mathbb{N}}_0.$$