Q7 Matemática (IMO Longlists 1992)

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Seja $X$ um conjunto limitado e não vazio de pontos no plano cartesiano. Seja $f (X)$ o conjunto de todos os pontos que estão a uma distância de no máximo $1$ de algum ponto em $X$ . Seja $f_{n} (X) = f (f (\dots (f (X)) \dots))$ ( $n$ vezes). Mostre que $f_{n} (X)$ se torna “mais circular” à medida que $n$ aumenta. Em outras palavras, se $r_{n} = sup {raios dos c \overset{ı}{ˊ} rculos contidos em f_{n} (X)}$ e $R_{n} = in f {raios dos c \overset{ı}{ˊ} rculos contendo f_{n} (X)}$ , então mostre que $R_{n} / r_{n}$ se aproxima arbitrariamente de $1$ quando $n$ se torna arbitrariamente grande. Clique para revelar o texto ocultoNão tenho certeza se estou postando isso no fórum certo. Se estiver em um fórum errado, por favor, mods mova-o.