Q95 Matemática (IMO Longlists 1990)

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Dado o inteiro $n > 1$ e o número real $t \geq 1$ . $P$ é um paralelogramo com quatro vértices $(0, 0), (0, t), (t F_{2 n + 1}, t F_{2 n}), (t F_{2 n + 1}, t F_{2 n} + t)$ . Aqui, $F_{n}$ é o $n$ -ésimo termo da sequência de Fibonacci definida por $F_{0} = 0, F_{1} = 1$ e $F_{m + 1} = F_{m} + F_{m - 1}$ . Seja $L$ o número de pontos integrais (cujas coordenadas são inteiros) interiores a $P$ , e $M$ a área de $P$ , que é $t^{2} F_{2 n + 1} .$ i) Prove que para qualquer ponto integral $(a, b)$ , existe um único par de inteiros $(j, k)$ tal que $j (F_{n + 1}, F_{n}) + k (F_{n}, F_{n - 1}) = (a, b)$ , ou seja, $j F_{n + 1} + k F_{n} = a$ e $j F_{n} + k F_{n - 1} = b .$ ii) Usando i) ou não, prove que $∣ L - M ∣ \leq 2 .$