Q82 Matemática (IMO Longlists 1990)

82 | IMO Longlists | 1990 | Matemática

Em um triângulo, uma simmediana é uma linha através de um vértice que é simétrica à mediana em relação à mediatriz interna (todos relativos ao mesmo vértice). No triângulo $A BC$ , a mediana $m_{a}$ encontra $BC$ em $A^{'}$ e o círculo circunscrito novamente em $A_{1}$ . A simmédia $s_{a}$ encontra $BC$ em $M$ e o circuncírculo novamente em $A_{2}$ . Dado que a reta $A_{1} A_{2}$ contém o circuncentro $O$ do triângulo, prove que: (a) $\frac{A A ^{'}}{A M} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{2 b c};$ (b) $1 + 4 b^{2} c^{2} = a^{2} (b^{2} + c^{2})$