Q73 Matemática  (IMO Longlists 1990)

Seja $\mathbb{Q}$ o conjunto de todos os números racionais e $\mathbb{R}$ o conjunto dos números reais. A função $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$ satisfaz as seguintes condições: (i) $f(0)=0$, e para qualquer $a\in Qdiferentedezero,f(a)>0.$ (ii) ) $f(x+y)=f(x)f(y)\forall x,y\in \mathbb{Q}.$ (iii) $f(x+y)\le \max \{f(x)),f(y)\}\forall x,y\in \mathbb{Q},x,y\ne 0.$ Seja $x$ um inteiro e $f(x)\ne 1$. Prove que $f(1+x+x^2+\cdots +x^n)=1$ para qualquer inteiro positivo $n.$