Q70 Matemática  (IMO Longlists 1990)

$BC$ é um segmento, $M$ é um ponto em $BC$, $A$ é um ponto tal que $A,B,C$ não são colineares. (i) Prove que se $M$ é o ponto médio de $BC$, então $A{B}^2+A{C}^2=2(A{M}^2+B{M}^2).$ (ii) Se existe outro ponto (exceto $M$) no segmento $BC$ satisfazendo (i), encontre a região que o ponto $A$ pode ocupar.