Q38 Matemática  (IMO Longlists 1990)

Seja $\alpha$ a raiz positiva da equação quadrática $x^2=1990x+1$. Para qualquer $m,n\in \mathbb{N}$, defina a operação $m\ast n=mn+[\alpha m][\alpha n]$, onde $[x]$ é o maior inteiro não maior que $x$. Prove que $(p\ast q)\ast r=p\ast (q\ast r)$ vale para todo $p,q,r\in \mathbb{N}.$