Q19 Matemática  (IMO Longlists 1990)

Dado um inteiro inicial $n_0>1$, dois jogadores, $\mathcal{A}$ e $\mathcal{B}$, escolhem os inteiros $n_1$, $n_2$, $n_3$, $\dots$ alternadamente de acordo com as seguintes regras: I.) Conhecendo $n_{2k}$, $\mathcal{A}$ escolhe qualquer inteiro $n_{2k+1}$ tal que $$n_{2k}\le n_{2k+1}leq{n}_{2k}^2.$$ II.) Conhecendo $n_{2k+1}$, $\mathcal{B}$ escolhe qualquer inteiro $n_{2k+2}$ tal que $$\frac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}}$$ é um primo elevado a uma potência inteira positiva. O jogador $\mathcal{A}$ ganha o jogo escolhendo o número 1990; o jogador $\mathcal{B}$ ganha escolhendo o número 1. Para qual $n_0$: a.) $\mathcal{A}$ tem uma estratégia vencedora? b.) $\mathcal{B}$ tem uma estratégia vencedora? c.) Nenhum dos jogadores tem uma estratégia vencedora?