Q9 Matemática  (IMO Longlists 1990)

Suponha que o conjunto de todos os inteiros positivos seja decomposto em $r$ (disjuntos) subconjuntos $A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_r=\mathbb{N}.$ Prove que um deles, digamos $A_i,$ tem a seguinte propriedade: Existe um $m$ positivo tal que para qualquer $k$ pode-se encontrar os números $a_1,a_2,\dots ,a_k$ em $A_i$ com $0<a_{j+1}-a_j\le m,$ $(1\le j\le k-1)$.