Q97 Matemática  (IMO Longlists 1989)

Uma função aritmética é uma função de valor real cujo domínio é o conjunto de inteiros positivos. Defina o produto de convolução de duas funções aritméticas $f$ e $g$ como a função aritmética $f\ast g$, onde $$(f\ast g)(n)=\sum _{ij=n}f(i)cdotg(j),$$ e $f^{\ast k}=f\ast f\ast \dots \ast f$ ($k$ vezes) Dizemos que duas funções aritméticas $f$ e $g$ são dependentes se existirem um polinômio não trivial de duas variáveis $P(x,y)={\sum }_{i,j}{a}_{ij}{x}^i{y}^j$ com coeficientes reais tais que $$P(f,g)=\sum _{i,j}{a}_{ij}{f}^{\ast i}\ast g^{\ast j}=0,$$ e dizem que são independentes se não forem dependentes. Sejam $p$ e $q$ dois primos distintos e defina $$f_1(n)=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }n=p,\\ 0& \text{ caso contraˊrio}.\end{array}$$ $$f_2(n)=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }n=q,\\ 0& \text{ caso contraˊrio}.\end{array}$$ Prove que $f_1$ e $f_2$ são independentes.