Q95 Matemática  (IMO Longlists 1989)

Seja $n$ um inteiro positivo, $X=\{1,2,\dots ,n\},$ e $k$ um inteiro positivo tal que $\frac{n}{2}\le k\le n.$ Determine, com prova, o número de todas as funções $f:X\mapsto X$ que satisfazem as seguintes condições: (i) $f^2=f;$ (ii) o número de elementos na imagem de $f$ é $k;$ (iii) para cada $y$ na imagem de $f,$ o número de todos os pontos $x\in X$ tal que $f(x)=y$ é no máximo $2.$