Q81 Matemática  (IMO Longlists 1989)

Uma função de valor real $f$ em $\mathbb{Q}$ satisfaz as seguintes condições para $\alpha ,\beta \in \mathbb{Q}arbitr\acute{a}rio:$ (i) $f(0)=0,$ ( ii) $f(\alpha )>0\text{ if }\alpha \ne 0,$ (iii) $f(\alpha \cdot \beta )=f(\alpha )f(\beta ),$ (iv) ) $f(\alpha +\beta )\le f(\alpha )+f(\beta ),$ (v) $f(m)\le 1989$ $\forall m\in \mathbb{Z}.$ Prove que $$f(\alpha +\beta )=\max \{f(\alpha ),f(\beta )\}\text{ if }f(\alpha )\ne f(\beta ).$$