Q79 Matemática  (IMO Longlists 1989)

Dados dois números naturais $w$ e $n,$ a torre de $n$ $w^{\prime }s$ é o número natural $T_n(w)$ definido por $$T_n(w)=w^{w^{{\cdots }^w}},$$ com $n$ $w^{\prime }s$ no lado direito. Mais precisamente, $T_1(w)=w$ e $T_{n+1}(w)=w^{T_n(w)}.$ Por exemplo, $T_3(2)=2^{2^2}=16,$ $T_4(2)=2^{16}=65536,$ e $T_2(3)=3^3=27.$ Encontre a menor torre de $3^{\prime }s$ que excede a torre de $1989$ $2^{\prime }s.$ Em outras palavras, encontre o menor valor de $n$ tal que $T_n(3)>T_{1989}(2).$ Justifique sua resposta.