Q76 Matemática  (IMO Longlists 1989)

Poldavia é um reino estranho. Sua unidade monetária é o bourbaki e existem apenas dois tipos de moedas: as de ouro e as de prata. Cada moeda de ouro vale $n$ bourbakis e cada moeda de prata vale $m$ bourbakis ($n$ e $m$ são números inteiros positivos). Usando moedas de ouro e prata, é possível obter somas como 10.000 bourbakis, 1875 bourbakis, 3072 bourbakis e assim por diante. Mas o sistema monetário da Poldávia não é tão estranho quanto parece: (a) Prove que é possível comprar qualquer coisa que custe um número inteiro de bourbakis, desde que se possa receber troco. (b) Provar que qualquer pagamento acima de $mn-2$ bourbakis pode ser feito sem a necessidade de receber troco.