Q54 Matemática  (IMO Longlists 1989)

Seja $n=2k-1$ onde $k\ge 6$ é um inteiro. Seja $T$ o conjunto de todas as $n-$tuplas $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ onde $x_i\in \{0,1\}$ $\forall i=\{1,2,\dots ,n\}$ Para $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in T$ e $y=(y_1,y_2,\dots ,y_n)\in T$ deixe $d(x,y)$ denota o número de inteiros $j$ com $1\le j\le n$ tal que $x_i\ne x_j$, em particular $d(x,x)=0.$ Suponha que exista um subconjunto $S$ de $T$ com $2^k$ elementos que tem a seguinte propriedade: Dado qualquer elemento $x\in T,$ existe um único elemento $y\in S$ com $d(x,y)\le 3.$ Prove que $n=23.$