Q47 Matemática  (IMO Longlists 1989)

Seja $A,B$ dois pontos fixos distintos no espaço. Seja $X,P$ denotar pontos variáveis (no espaço), enquanto $K,N,n$ denotar inteiros positivos. Chame $(X,K,N,P)$ admissível se $$(N-K)\cdot PA+K\cdot PB\ge N\cdot PX.$$ Chame $(X,K,N)$ admissível se $(X,K,N,P)$ é admissível para todas as escolhas de $P.$ Chamar $(X,N)$ admissível se $(X,K,N)$ for admissível para alguma escolha de $K$ em o intervalo $0<K<N.$ Finalmente, chame $X$ admissível se $(X,N)$ for admissível para alguma escolha de $N,(N>1).$ Determine: (a) o conjunto de admissíveis $X;$ (b) o conjunto de $X$ para o qual $(X,1989)$ é admissível, mas não $(X,n),n<1989.$