Q23 Matemática  (IMO Longlists 1989)

Seja $ABC$ um triângulo. Prove que existe um único ponto $U$ no plano de $ABC$ tal que existem números reais $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ nem todos zero, tais que $$\alpha P{L}^2+\beta P{M}^2+\gamma P{N}^2+\delta U{P}^2$$ é constante para todos os pontos $P$ do plano, onde $L,M,N$ são os pés das perpendiculares de $P$ a $BC,CA,AB$ respectivamente. Identifique $U.$